5 Ejemplos del Binomio de Newton

En este blog explicaremos los 5 ejemplos del binomio de Newton, además repasaremos su concepto e historia.

Ejemplo del Binomio de Newton

¿Qué es binomio de Newton?

El binomio de Newton, igualmente conocido como el teorema binomial es básicamente un logaritmo que nos ayuda a conseguir potencias de binomios. Para obtener la potencia binomial se usa los coeficientes llamados como coeficientes binomiales los cuales se fundamentan en una serie de combinaciones.

La formulas universales del binomio de Newton son:

(a + b)2=a2+2ab+b2.

(a – b)2=a2–2ab+b2.

(a + b)3 a3+3a2b+3ab2+b3.

Estas fórmulas se ha conocido como identidades notables, donde se determina o crea una fórmula  más universal que equivale al proceso de (a + b)n, siendo n un dígito entero natural cualquiera.

Historia

El teorema fue verdaderamente descubierto por primera vez en el año 1000 por físico y matematico Al-Karjí. Empleando los procedimientos de John Wallis de extrapolación e interpolación a nuevos ejercicios y problemas matemáticos, Newton usó las definiciones de exponentes generalizados por medio  los cuales un término polinómico se convertía en una serie infinita. De este modo pudo demostrar que una gran cantidad de series ya evidentes en casos particulares, se diferencia o se integra.

En 1664 y 1665, Isaac Newton estaba en su domicilio en Lincolnshire, cuando desarrolló la expansión binomial decidiendo que es un número racional, poco después determino que cuando el exponente es un dígito negativo. Para ambos casos, se estableció  que la expresión resultante sería una cadena de infinitos términos.

Ejemplos básicos del binomio de Newton

Teorema generalizado del binomio de Newton

Teorema generalizado del binomio de Newton Ejemplo del Binomio de Newton.jpg

Sir Isaac Newton sistematizó la fórmula para exponentes reales, tomando en cuenta una serie infinita, Donde r puede ser cualquier dígito real, no precisamente positivo ni entero, y todos los coeficientes están facilitados por la productoria.

Teorema Multinomial

Teorema Multinomial Ejemplo del Binomio de Newton.jpg

El teorema Multinomial del binomio puede ser general para incluir las potencias de sumas de más de dos cantidades. En este teorema la suma se usa sobre todos los números enteros naturales. Los coeficientes de la adición, llamados como coeficientes multinomiales se calculan por medio de su fórmula general. Desde una orientación de la combinatoria, podemos decir que el coeficiente multinomial cuenta la cifra de diferentes formas de dividir un grupo de elementos ubicados en subconjuntos.

Teorema multi-binomial

Generalmente es ventajoso, cuando se calcula en más de una dimensión, utilizar productos de expresiones binomiales debe tomar en cuenta su formula general.

Ejemplo 1 del Teorema binomial de Newton

Se ha determinado que para cualquier dígito real r que no debe ser un entero no negativo, basado en la siguiente formula (x + 1)r= ∑i = 0∞ (ri) xi, cuando −1 <x <1.

No es dificultoso ver que el orden es el orden de Maclaurin para determinar que (x + 1) r, y que el orden se aproxima cuando −1 <x <1. Es mucho más difícil demostrar que el orden es igual a (x + 1)r.

Ejemplo 2 del teorema de expansión

Expanda la función cuando (1 − x) −n tomando en cuenta que n es un entero positivo (+). Primero imaginamos (x + 1) –n, conseguimos simplificar los coeficientes de teorema binomiales basado en la fomula:

(−n)(- n − 1)(- n − 2) ⋯ (−n − i + 1)i! = (- 1)i (n) (n + 1)⋯ (n + i − 1) i ! = (- 1)i (n + i − 1)! I! (N − 1)! = (- 1) i (n + i − 1i) = (- 1) i (n + i − 1n − 1 )

Obteniendo la siguiente:

(x + 1)−n =∑i =0∞ (−1) i (n + i − 1n − 1) xi =∑i =0∞ (n + i − 1n − 1)(- x) i.

Seguidamente sustituimos x por −x da:

(1 − x)−n =∑i =0∞ n + i − 1n − 1)xi.

A la sazón que (1 − x) −n es la formulación generadora para (n + i − 1n − 1), el dígito de sub-multisets de {∞⋅1, ∞⋅2,3,… ∞⋅n} de tamaño i.

En la mayoría de los casos, es posible crear directamente la función amplificadora cuyos coeficientes solucionan un problema de conteo.

Ejemplo 3

Halle el número de soluciones para la función x1 + x2 + x3 + x4 = 17, donde obtenemos 0≤x1≤2, 0≤x2≤5, 0≤x3≤5, 2≤x4≤6.

Es obvio que conseguimos solucionar este problema utilizando la fórmula de inclusión-exclusión, pero utilizamos funciones amplificadoras. Basada en la función de los ejemplos del Binomio de Newton:

(1 + x + x2)(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)(x2 + x3 + x4 + x5 + x6).

Conseguimos multiplicar esto adoptando un término para cada factor de todos los modos posibles. Seguidamente recolectamos expresiones similares, en el coeficiente de xk se hallará el número de métodos a elegir una expresión de cada factor para que este modo los exponentes de las expresiones sumen k. Este es indispensablemente la cifra de soluciones para x1 + x2 + x3 + x4 = k, donde encontramos que 0≤x1≤2, 0≤x2≤5, 0≤x3≤5, 2≤x4≤6. De este modo la respuesta al problema de teorema es el coeficiente de x17. Pero con la ayuda de un método de álgebra computacional conseguimos el siguiente resultado.

(1 + x + x2)(1 = + x + x2 + x3 + x4 + x5)2 (x2 + x3 + x4 + x5 + x6)x18 + 4×17+10×16+19×15+31×14 +45×13+58×12+67×11+70×10+67×9+58×8+45×7+31×6+19×5+10×4+4×3+x2.

Entonces la respuesta a esta función es cuatro (4).

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