5 Ejemplos De Solidos De Revolucion

En esta lección repasaremos los 5 ejemplos de solidos de revolucion, su concepto y tipos principales.

Ejemplos De Sólido De Revolución

¿Qué es un sólido de revolución?

El sólido de revolución es básicamente una figura tridimensional que se crea por medio de la rotación de un área plana alrededor de un eje de revolución o axial.

Otro ejemplo muy sencillo de representar se fundamenta en utilizar un cilindro circular recto, se hace rotar un rectángulo de apotema o altura h y radio r, alrededor de un eje x positivo. Para hallar su volumen se emplea la siguiente fórmula:

V =área de la base x altura.

Tipos de sólidos de revolución

Los sólidos de revolución se suelen clasificarse basado a la curva que los forma:

Esfera

Son se hace rotar un semicírculo sobre un eje que generalmente, es el diámetro del circulo de radio R. Su volumen total es: Vesfera=(4/3)πR3

Cono

Para conseguir un cuerpo cónico de altura H y radio R,  el área que se debe girar es una figura de triángulo rectángulo, sobre el eje axial que franquea por uno de los cerriles. Su volumen viene siendo: Vcono=(1/3)πHR2.

Cilindro

Girando un rectángulo sobre un eje axial que franquea por uno de los lados, el lado más corto o largo, conseguimos un cilindro circular completamente recto de radio R y apotema H, cuyo volumen es el siguiente: Vcilindro=πR2H

Toroide

Se consigue girando una zona circular entorno a una línea recta en el plano. Su volumen es: Vtoroide=2πa2R

Ejemplos generales de sólidos de revolución

Método de los discos o las arandelas

Al seccionar un sólido de revolución la unidad transversal suele ser un disco, si el sólido es compacto o suele ser de una forma de arandela, es decir, un disco con un hoyo en el centro, si se fundamenta de un sólido hueco.

Opinemos que se hace girar una zona plana contorno del eje horizontal. De esa zona plana quitamos un rectángulo de ancho Δx, el cual se hace rodar en orientación perpendicular contorno del eje axial.

La apotema del rectángulo está formada entre la curva más exterior R(x) y la más curva interna r(x). Ellas pertenecen al radio interno y externo respectivamente.

Al hacer este movimiento se crea un anillo de volumen ΔV, proveído por la formula:

ΔV=Vcompleto–Vagujero, si existe.

Tomando en cuenta que el volumen total de un cilindro de forma redonda y recta es de π xradio2 x altura, obtenemos:

ΔV=π [R2(x)–r2(x)] Δx.

La figura sólida se puede fraccionar en reunión de pequeñas fracciones de volumen ΔV. Si estas las sumamos todas, obtendremos el volumen total o completo.

Para ello creamos que 0 el volumen ΔV, de este modo Δx igualmente se hace más pequeño, pasando a ser un producto diferencial dx.

Así obtenemos una integral:

V =∫abπ[R2(x)–r2(x)]dx

Método de arandelas

Método de arandelas Ejemplos De Sólido De Revolución

En ejemplo  el solido es compacto, entonces obtenemos la función: r(x)=0, el corte del sólido que se forma es un aro y el volumen queda con a siguiente fórmula:

V=∫ab πR2(x)dx

Cuando el eje de sublevación es vertical, las formulas anteriores son tomadas de la siguiente forma:

V =∫ab π [R2 (y)–r2 (y)]dy  y V =∫ab πR2(y)dy

Método de las capas

metodos de las capas Ejemplos De Sólido De Revolución

Como su nombre lo indica, este ejemplo consiste en presumir que el sólido dispone de capas de grosor diferencial. La capa es un conducto delgado que se produce por la rotación de un rectángulo paralelamente hacia el eje de giro. Es uno de los ejemplos de sólidos de revolución .

Una placa cilíndrica de apotema 2, extensión h y radio p.

Obtenemos las siguientes dimensiones:

La  apotema o altura del rectángulo es w

Su extensión o longitud h

La distancia del eje del rectángulo al centro de rotación p

Conociendo que el volumen de la placa es volumen exterior e interior aplicando la siguiente fórmula:

π(p+w/2)2h – π (p–w/2)2h

Al ampliar los productos considerables y simplificar, se consigue:

Volumen de la placa =2π.p.w.h

Método de las capas para eje de revolución horizontal

Este es uno de los ejemplos de solidos de revolucion, donde el volumen ΔV es:ΔV =2π p.h. Δy

Afirmando que número de placas n sea más grande, Δy seguidamente pasa a ser un producto  diferencial dy, por lo tanto el volumen total es:

V =∫cd 2π p.(y)h(y)dy

El proceso descrito se emplea de forma similar cuando el eje de revolución es de una orientación vertical:

Método de las capas para eje de revolución vertical

Este es otro de los ejemplos de solidos de revolucion. Halle el volumen formado por la rotación de la zona plana interpretada entre las curvas:

y=x2, y=0, x=2

Entorno del eje y.

Solución

Inicialmente debemos realizar un graficar ubicando la región que va a componer el sólido de revolución y al mismo tiempo se debe señalar el eje de giro.

Luego se debe  encontrar las intersecciones dadas entre la curva y=x2 y la línea recta x=2. Por su fracción recta y=0 el cual no es otro más que el eje x.

Dibujando la gráfica es mucho más fácil indicar que la parábola y la línea recta se pueden interceptar en el punto (2,4), lo cual se aprueba suplantando x = 2 en y = x2.

Seguidamente se elige uno de los procedimientos para calcular el volumen, uno de ellos el procedimiento de capas con un eje de revolución vertical: V=∫ab2π p(x)h(x)dx.

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